Clase virtual N° 3: APLICACIONES DEL PRODUCTO CRUZ
Estimad@s estudiantes de la MODALIDAD DE
MATEMÁTICAS, reciban un cariñoso saludo.
A continuación encontrarán nuestra clase n°3 de Álgebra lineal,
lean con mucha atención la Ruta de trabajo propuesta.
LEAN CON ATENCIÓN LOS REQUERIMIENTOS SIGUIENTES:
LA ESTRATEGIA DEL TRABAJO EN EQUIPOS (5 PERSONAS)IMPLICA LA PARTICIPACIÓN DE TOD@S.ERES RESPONSABLE DE TU PROPIO APRENDIZAJE.
CADA ESTUDIANTE HACE SU ACTIVIDAD EN EL CUADERNO O EN WORD DE UNA VEZ.
LA INSTITUCIÓN HA ESTABLECIDO TIEMPOS FLEXIBLES PARA LA ENTREGA DE LOS PRODUCTOS DE SU TRABAJO.ESMERENSE POR CUMPLIR CON ESTOS PLAZOS.
LA PUNTUALIDAD ES UN VALOR MUY IMPORTANTE EN LA FORMACIÓN INTEGRAL DE LAS PERSONAS Y SE TENDRÁ MUY EN CUENTA AL DAR LA VALORACIÓN FINAL DE CADA PERÍODO ACADÉMICO.
ENVÍAR AL CORREO: g.ariasinem@gmail.com UN SOLO INFORME DE DOS ARCHIVOS UNO CON SOLO RESPUESTAS CONCRETAS POR EJEMPLO: Área del paralelo gramo es A=...., Volúmen del paralelepípedo V=.......) Y OTRO ARCHIVO CON LAS JUSTIFICACIONES,( CÁLCULO DE Áreas y Volúmenes) HECHAS EN WORD, O CON LAPICERO DE TINTA NEGRA.
LA PERSONA DEL EQUIPO ENCARGADA DE ENVIAR EL TRABAJO COLOCA EN EL ASUNTO DEL CORREO SU NOMBRE, EL CURSO,Y LOS NOMBRES DEL RESTO DE INTEGRANTES DEL EQUIPO.
OBJETIVO:
Aprender a desarrollar aplicaciones geométricas del
produto cruz, para el cálculo de área de paralelogra
mos y volúmen de paralelepípedos no rectos.
1. LO QUE DEBES RECORDAR......
A continuación te propongo dos vídeos que te
permitirán recordar saberes básicos de geometría
para poder avanzar en el desarrollo de tus
competencias matemáticas.
2. lO QUE ESPERO APRENDER EN ESTA CLASE
Actividad 1: Vamos a MOSTRAR con un ejemplo que
El cuadrado de la norma del producto cruz de dos
vectores es igual al producto de los cuadrados de sus
normas menos el cuadrado del producto punto entre
ellos. El enunciado anterior, se expresa
matemáticamente así:
Dados los vectores u=(1-2,3) y v=(-2,4,3)
Haga la siguiente secuencia de pasos:
paso 1: Halle ‖u‖ , ‖u‖2 , ‖ v ‖ , ‖v‖2 , ‖uxv‖ , ‖uxv‖2
paso 2: Halle u.v, (u.v)2
paso 3: Con los datos numéricos encontrados en los
pasos 1-2, realice la operación ‖u‖2‖v‖2- (u.v)2 .
paso 4: Compare el resultado final del paso 3, con el
obtenido para ‖uxv‖2
Debes llegar a la igualdad: ‖uxv‖2=‖u‖2‖v‖2- (u.v)2
Actividad 2: A continuación te propongo ver dos
vídeos que te permitirán entender la
DEMOSTRACIÓN DEL TEOREMA CENTRAL DE
ESTA CLASE Y SU INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA.
3. TALLER PARA ENTREGAR:
PRÁCTICA1:
En cada ejercicio propuesto se dan tres vértices (puntos)
consecutivos de un paralelogramo (o de un triángulo)
nombrados P,Q,R. Debes, en cada caso determinar los vectores
PQ=Q - P, y, QR= R - Q, que generan el paralelogramo
en cuestión. Puedes hacer u= PQ , v= QR.
I. En cada caso A,B,C halla el área de cada paralelogramo con
la siguiente secuencia de pasos:
1. Grafique cada paralelogramo en el espacio.
2. Encuentra el ángulo α entre los vectores u y v que forman
el paralelogramo en cuestión.
3. Halla ‖u‖, ‖ v ‖
4. Ahora calcula el área aplicando la fórmula:
A= ‖u‖ ‖ v ‖ senα.
A. P(1,-2,3) Q(2,0,1), R(0,4,0)
B. P(-2,1,0) Q(1,4,2) R(-3,1,5)
C. P(1,3,-2) Q(2,1,4) R(-3,1,6)
II. Teniendo en cuenta el resultado del teorema central de esta
clase:...el área del paralelogramo generado por los vectores
u y v es numéricamente igual a la norma del product cruz,
es decir, A= ‖uxv‖, halla el área de los ejercicios propuestos
en los literales A,B,C del ejercicio anterior.
Que interesante cierto!!!
APLICACIÓN 2: VOLÚMEN DE UN PARALELEPÍPEDO
NO- RECTO (su altura no forma 90° con la base).
El siguiente vídeo te muestra como hallar el volúmen de
un paralelepípedo no -recto usando producto cruz y producto
punto.
Toma tres vectores: u=(a,b,c) v=(m,n,p) w=(q,r,t)
realiza (uxv).w, luego forma y calcula
MATEMÁTICAS, reciban un cariñoso saludo.
A continuación encontrarán nuestra clase n°3 de Álgebra lineal,
lean con mucha atención la Ruta de trabajo propuesta.
Asignatura: Algebra lineal 2
Grado: 11°: Modalidad de Matemáticas.
Fecha de publicación: Junio 1/2020.
Fecha de envío de actividades al docente: 16 de Junio/2020.
LEAN CON ATENCIÓN LOS REQUERIMIENTOS SIGUIENTES:
LA ESTRATEGIA DEL TRABAJO EN EQUIPOS (5 PERSONAS)IMPLICA LA PARTICIPACIÓN DE TOD@S.ERES RESPONSABLE DE TU PROPIO APRENDIZAJE.
CADA ESTUDIANTE HACE SU ACTIVIDAD EN EL CUADERNO O EN WORD DE UNA VEZ.
LA INSTITUCIÓN HA ESTABLECIDO TIEMPOS FLEXIBLES PARA LA ENTREGA DE LOS PRODUCTOS DE SU TRABAJO.ESMERENSE POR CUMPLIR CON ESTOS PLAZOS.
LA PUNTUALIDAD ES UN VALOR MUY IMPORTANTE EN LA FORMACIÓN INTEGRAL DE LAS PERSONAS Y SE TENDRÁ MUY EN CUENTA AL DAR LA VALORACIÓN FINAL DE CADA PERÍODO ACADÉMICO.
LA PERSONA DEL EQUIPO ENCARGADA DE ENVIAR EL TRABAJO COLOCA EN EL ASUNTO DEL CORREO SU NOMBRE, EL CURSO,Y LOS NOMBRES DEL RESTO DE INTEGRANTES DEL EQUIPO.
OBJETIVO:
Aprender a desarrollar aplicaciones geométricas del
produto cruz, para el cálculo de área de paralelogra
mos y volúmen de paralelepípedos no rectos.
1. LO QUE DEBES RECORDAR......
A continuación te propongo dos vídeos que te
permitirán recordar saberes básicos de geometría
para poder avanzar en el desarrollo de tus
competencias matemáticas.
2. lO QUE ESPERO APRENDER EN ESTA CLASE
Actividad 1: Vamos a MOSTRAR con un ejemplo que
El cuadrado de la norma del producto cruz de dos
vectores es igual al producto de los cuadrados de sus
normas menos el cuadrado del producto punto entre
ellos. El enunciado anterior, se expresa
matemáticamente así:
‖uxv‖2=‖u‖2‖v‖2-
(u.v)2
Dados los vectores u=(1-2,3) y v=(-2,4,3)
Haga la siguiente secuencia de pasos:
paso 1: Halle ‖u‖ , ‖u‖2 , ‖ v ‖ , ‖v‖2 , ‖uxv‖ , ‖uxv‖2
paso 2: Halle u.v, (u.v)2
paso 3: Con los datos numéricos encontrados en los
pasos 1-2, realice la operación ‖u‖2‖v‖2- (u.v)2 .
paso 4: Compare el resultado final del paso 3, con el
obtenido para ‖uxv‖2
Debes llegar a la igualdad: ‖uxv‖2=‖u‖2‖v‖2- (u.v)2
Actividad 2: A continuación te propongo ver dos
vídeos que te permitirán entender la
DEMOSTRACIÓN DEL TEOREMA CENTRAL DE
ESTA CLASE Y SU INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA.
Teorema central
La norma del producto cruz de dos vectores del espacio es
igual al producto de sus normas por el seno del ángulo
comprendido entre los dos vectores.
Comentario importante:
El vídeo en sus primeros 4.20 minutos muestra de manera general el resultado que nosotros verificamos en la actividad 1,de esta clase, ya que para probar este teorema se requiere saber que:
‖uxv‖2=‖u‖2‖v‖2- (u.v)2
Vale la pena ver este vídeo las veces que sea necesario para poder comprender el Teorema.
comprendido entre los dos vectores.
Comentario importante:
El vídeo en sus primeros 4.20 minutos muestra de manera general el resultado que nosotros verificamos en la actividad 1,de esta clase, ya que para probar este teorema se requiere saber que:
‖uxv‖2=‖u‖2‖v‖2- (u.v)2
Vale la pena ver este vídeo las veces que sea necesario para poder comprender el Teorema.
Norma del producto cruz
Interpretación Geométrica del Teorema de la norma del
producto cruz
3. TALLER PARA ENTREGAR:
PRÁCTICA1:
En cada ejercicio propuesto se dan tres vértices (puntos)
consecutivos de un paralelogramo (o de un triángulo)
nombrados P,Q,R. Debes, en cada caso determinar los vectores
PQ=Q - P, y, QR= R - Q, que generan el paralelogramo
en cuestión. Puedes hacer u= PQ , v= QR.
I. En cada caso A,B,C halla el área de cada paralelogramo con
la siguiente secuencia de pasos:
1. Grafique cada paralelogramo en el espacio.
2. Encuentra el ángulo α entre los vectores u y v que forman
el paralelogramo en cuestión.
3. Halla ‖u‖, ‖ v ‖
4. Ahora calcula el área aplicando la fórmula:
A= ‖u‖ ‖ v ‖ senα.
A. P(1,-2,3) Q(2,0,1), R(0,4,0)
B. P(-2,1,0) Q(1,4,2) R(-3,1,5)
C. P(1,3,-2) Q(2,1,4) R(-3,1,6)
II. Teniendo en cuenta el resultado del teorema central de esta
clase:...el área del paralelogramo generado por los vectores
u y v es numéricamente igual a la norma del product cruz,
es decir, A= ‖uxv‖, halla el área de los ejercicios propuestos
en los literales A,B,C del ejercicio anterior.
Que interesante cierto!!!
APLICACIÓN 2: VOLÚMEN DE UN PARALELEPÍPEDO
NO- RECTO (su altura no forma 90° con la base).
El siguiente vídeo te muestra como hallar el volúmen de
un paralelepípedo no -recto usando producto cruz y producto
punto.
TALLER 2 PARA ENTREGAR:
PRÁCTICA2:
PRÁCTICA2:
Aplica el siguiente paso a paso para hallar el volúmen de
un paralelepípedo formado por los vectores u,v, w.
paso 1: Gráfique el paralelepípedo usando como base el
paralelogramo generado por los vectores u,v;el vector
w te permite hallar la altura del sólido.
paso 2: Halle uxv
paso 3: Tome el vector obtenido en el paso 2,y, calcule
el producto punto con el vector w, es decir, haga (uxv).w
paso 4: El resultado del paso 3, es un número real, toma su
valor absoluto y este es el volúmen del sólido pedido.
APLICA ESTOS 4 PASOS PARA HALLAR EL VOLÚ
MEN DE LOS PARALELEPÍPEDOS QUE GENERAN
LOS VECTORES u,v,w:
1. u= (1,-1,0) v=(3,0,2) w=(0,-7,3)
2. u=( -5,0,5) v=(-3,-1,3) w=(-5,-2,6)
3. u= AB v= AC w=AD donde A.B,C,D
son los puntos A=(-2,1,4) B=(-3,1,5) C=(2,1,1) D=(-4,3,2)
QUE CURIOSO RESULTADO.
Ahora comprueba que tus tres ejercicios anteriores están
correctos formando y calculando un determinante 3x3 que
lleva en su primera fila las componentes del vector u,en la
segunda fila las componentes del vector v y en la tercera fila las
componentes del vector w.
Te invito a que generalices esta curiosidad:
Ahora comprueba que tus tres ejercicios anteriores están
correctos formando y calculando un determinante 3x3 que
lleva en su primera fila las componentes del vector u,en la
segunda fila las componentes del vector v y en la tercera fila las
componentes del vector w.
Te invito a que generalices esta curiosidad:
Toma tres vectores: u=(a,b,c) v=(m,n,p) w=(q,r,t)
realiza (uxv).w, luego forma y calcula
un determinante 3x3 que lleva en su primera fila las
componentes del vector, u; en la segunada fila las compo
nentes del vector v y en la tercera fila las componentes del
vector w y tendrás un nuevo Teorema.
vector w y tendrás un nuevo Teorema.
